Ecos galácticos

Ecos galácticos.
Rimpei Chiba, Júpiter Ding , Chris Hamilton , Matthew W. Kunz , Scott Tremaine
Avisos mensuales de la Royal Astronomical Society , volumen 543, número 1, octubre de 2025, páginas 190-201, https://doi.org/10.1093/mnras/staf1463
Publicado:
03 de septiembre de 2025 Historial del artículo



ABSTRACTO

Gaia ha revelado diversas subestructuras en el espacio de fases de las estrellas en la vecindad solar, incluyendo el "caracol" vertical en el espacio |$(z,v_z)$| . Dichas subestructuras se interpretan a menudo como la respuesta incompletamente mezclada en fase de las estrellas del disco a una sola perturbación, como un encuentro impulsivo con una galaxia satélite. En este artículo, consideramos la posibilidad de que dichas estructuras contengan manifestaciones de ecos en el espacio de fases . Establecidos por primera vez en la física del plasma en la década de 1960, los ecos surgen cuando un sistema sin colisiones se perturba dos veces : las respuestas macroscópicas a ambas perturbaciones se mezclan a pequeñas escalas en el espacio de fases, con lo cual se acoplan de forma no lineal, produciendo una tercera respuesta de "eco" macroscópica sin la necesidad de una tercera perturbación. Derivamos el análogo galáctico de la teoría del eco del plasma utilizando variables de acción angular y lo aplicamos a un modelo unidimensional de movimiento vertical en la Vía Láctea. Verificamos el comportamiento del eco predicho mediante simulaciones idealizadas de partículas de prueba, con y sin la inclusión de la difusión mediante dispersión orbital de nubes moleculares. Si bien concluimos que es improbable que el Caracol de Gaia sea en sí mismo un efecto de eco (puro), la física básica que descubrimos es lo suficientemente genérica como para esperar que los ecos en el espacio de fases sean comunes en las galaxias de disco.
métodos: analíticos , Galaxia: evolución , Galaxia: cinemática y dinámica
 
1 INTRODUCCIÓN

El 'Caracol' de Gaia (Antoja et al. 2018 ) es una estructura espiral de un solo brazo en la densidad de estrellas en el vecindario solar cuando se observa en el espacio de fases vertical |$(z,v_z)$|⁠ . Aquí, z es la posición vertical de una estrella normal al plano medio galáctico y |$v_z$| es su velocidad vertical. La existencia del Caracol demuestra que la Vía Láctea no está en equilibrio de fase mixta. De hecho, las estructuras similares a los Caracoles se manifiestan no solo en la densidad estelar sino también en etiquetas estelares como la edad y la metalicidad (Frankel et al. 2025 ). Los caracoles casi con certeza resultan de la mezcla de fases incompleta de la función de distribución (DF) de las estrellas después de perturbaciones dinámicas de algún tipo, pero qué fueron/son exactamente estas perturbaciones dinámicas sigue siendo una pregunta sin respuesta (véase la revisión de Hunt y Vasiliev 2025 y las referencias allí incluidas).

La respuesta más simple es que el Caracol se originó a partir de una colisión entre la Vía Láctea y la galaxia enana Sagitario hace aproximadamente 300–900 millones de años (p. ej. Antoja et al. 2018 ; Binney y Schönrich 2018 ; Laporte et al. 2019 ; Bland-Hawthorn y Tepper-García 2021 ; Asano et al. 2025 ). Sin embargo, varios estudios numéricos han sugerido que los datos no son reproducibles solo por el impacto de Sagitario (p. ej. Bennett, Bovy y Hunt 2022 ). Además, el Caracol exhibe una variación significativa a lo largo de diferentes radios y acimutes, lo cual es difícil de explicar con una sola perturbación (Hunt et al. 2022 ; Antoja et al. 2023 ; Frankel et al. 2023 ). Motivados por estos hallazgos, Tremaine, Frankel y Bovy ( 2023 ) propusieron un escenario alternativo en el que el Caracol surge del efecto acumulativo de numerosos encuentros estocásticos con subhalos de materia oscura a medida que atraviesan el disco. Gilman et al. ( 2025 ) demostraron que estos encuentros múltiples pueden, de hecho, producir espirales de fase intensas, aunque solo con una abundancia de subhalos varias veces superior a la predicha por las simulaciones cosmológicas.

Aquí, exploramos otro tipo de mecanismo de encuentro entre satélites y discos, que se sitúa entre los escenarios de encuentro único y múltiple mencionados anteriormente. Consideramos la respuesta del disco a tan solo dos perturbaciones sucesivas de corta duración. Examinamos el subsiguiente acoplamiento no lineal entre las respuestas a estas dos perturbaciones y nos preguntamos, en particular, si el Caracol observado puede surgir como un análogo galáctico del famoso eco de plasma . Este es el fenómeno por el cual un plasma dos veces perturbado exhibe espontáneamente una tercera respuesta macroscópica debido a un acoplamiento no lineal retardado entre la primera y la segunda respuesta (Gould, O'Neil y Malmberg, 1967 ).

Más precisamente, los ecos más simples surgen al aplicar dos impulsos sucesivos a una caja homogénea de plasma sin colisiones. Poco después de cada impulso, la DF perturbada en el espacio de fases da lugar a una respuesta de densidad macroscópica. Posteriormente, la fase de la DF perturbada se mezcla a escalas cada vez más pequeñas en el espacio de velocidades, de la misma manera que se espera que el Caracol se mezcle a escalas cada vez más pequeñas, y eventualmente inobservables, en el espacio de frecuencias (Tremaine et al., 2023 ). Dado que magnitudes macroscópicas como la densidad se calculan mediante integrales sobre la velocidad, esta mezcla genera perturbaciones de densidad que decaen con el tiempo. Sin embargo, dado que el plasma no colisiona, la información contenida en la DF con mezcla de fases no se puede perder. En particular, las dos respuestas desdobladas pueden acoplarse de forma no lineal a pequeñas escalas en el espacio de fases y desenrollarse, de modo que, posteriormente, una parte de la DF perturbada deja brevemente de oscilar rápidamente en el espacio de velocidades. Esto produce una perturbación de tercera densidad, el llamado eco, sin necesidad de una tercera patada. El fenómeno del eco se predijo teóricamente hace más de medio siglo (Gould et al., 1967 ) y se confirmó experimentalmente casi de inmediato (Malmberg et al., 1968 ).

Las galaxias también son sistemas (casi) sin colisiones en los que las "patadas" externas (de galaxias enanas, subhalos de materia oscura y similares) pueden producir respuestas macroscópicas en el espacio de fases que luego se mezclan en fase, y generalmente se cree que el Caracol es una de esas respuestas. Surge naturalmente la pregunta de si puede existir un efecto similar al eco del plasma, y ​​si es observable, en galaxias como la Vía Láctea. El propósito de este artículo es investigar esta analogía. La principal dificultad técnica es que, a diferencia de las trayectorias no perturbadas en un plasma homogéneo, las órbitas no perturbadas de las estrellas no son líneas rectas, por lo que las variables naturales a utilizar son las coordenadas de acción angular |$(\boldsymbol{\theta }, \boldsymbol{J})$| en lugar de la posición y la velocidad |$(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{v})$|⁠ . En particular, la perturbación potencial |$\delta \phi (\boldsymbol {x})$| En estas variables, la función es tanto de la coordenada canónica como de su momento conjugado |$\delta \phi (\boldsymbol{\theta }, \boldsymbol{J})$|⁠ . Si bien esto complica el formalismo, veremos que no altera fundamentalmente el fenómeno del eco y que, de hecho, podemos tener ecos galácticos que se asemejan al Caracol.

El plan para el resto de este artículo es el siguiente. En la Sección 2 , rederivamos el fenómeno del eco utilizando variables de acción angular, basándose en un modelo unidimensional (1D) simple del movimiento vertical en la Vía Láctea. En la Sección 3 , verificamos la teoría del eco mediante simulaciones idealizadas de partículas de prueba, con y sin los efectos de la dispersión de nubes moleculares. En la Sección 4 , analizamos las implicaciones de los ecos galácticos para el Caracol de Gaia observado y para la dinámica galáctica en general. El resumen se presenta en la Sección 5 .
2 TEORÍA

Presentamos el marco básico de la teoría del eco y establecemos nuestra notación en la Sección 2.1 . Posteriormente, en la Sección 2.2 , derivamos el efecto del eco galáctico en el caso más simple, donde excitamos el disco dos veces impulsivamente, y lo calculamos hasta segundo orden en la teoría de perturbaciones, ignorando tanto la autogravedad como las colisiones (difusión a pequeña escala debida, por ejemplo, a la dispersión de nubes moleculares). En la Sección 2.3 , analizamos cómo estos efectos no ideales modificarían la teoría .
2.1 Marco

Consideramos un sistema estelar descrito por un campo gravitatorio f en el espacio de fases y un potencial gravitacional |$\Phi$|⁠ . Para simplificar, consideramos el movimiento en una sola dimensión espacial, z , y, por lo tanto, en una dimensión de velocidad, v . Suponemos que, en ausencia de perturbaciones, el campo gravitacional de nuestro sistema es una función conocida |$\Phi _0(z)$|⁠ . Entonces, el hamiltoniano no perturbado
$$\begin{eqnarray} H_0(z, v) = \frac{1}{2} v^2 + \Phi _0(z) \end{eqnarray}$$(1)

es integrable, lo que significa que podemos definir las variables de acción angular
$$\begin{eqnarray} \theta \equiv \Omega (J) \int _0^z \frac{\mathrm{d}z}{v}\quad {\rm y}\quad J \equiv \frac{1}{2\pi } \oint \mathrm{d}z ~v, \end{eqnarray}$$(2)

donde |$\Omega (J)$| es la frecuencia orbital
$$\begin{eqnarray} \Omega (J) \equiv 2 \pi \left(\oint \frac{\mathrm{d}z}{v} \right)^{-1}. \end{eqnarray}$$(3)

Por construcción, el hamiltoniano |$H_0$| es una función de la acción únicamente, |$H_0=H_0(J)$|⁠ , y la frecuencia es |$\Omega (J)=\partial H_0/\partial J$|⁠ .

El DF evoluciona según la ecuación de Boltzmann sin colisiones (CBE):
$$\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = \frac{{\partial }f}{{\partial }t} + \frac{{\partial }f}{{\partial }\theta } \frac{{\partial }H}{{\partial }J}-\frac{{\partial }f}{{\partial }J} \frac{{\partial }H}{{\partial }\theta } = 0, \end{eqnarray}$$(4)

donde |$H = v^2/2+\Phi = H_0 + (\Phi -\Phi _0)$| es el hamiltoniano completo.
2.2 Eco galáctico de la teoría de perturbaciones de segundo orden

Para derivar el eco galáctico, perturbamos nuestro sistema y escribimos la respuesta como una serie de potencia en el parámetro de perturbación |$\epsilon$|⁠ :
$$\begin{eqnarray} H(\theta, J, t) &= H_0(J) + \epsilon \Phi _1(\theta, J, t) + \epsilon ^2 \Phi _2(\theta, J, t) + \dots, \end{eqnarray}$$(5)
$$\begin{eqnarray} f(\theta , J, t) &= f_0(J) + \epsilon f_1(\theta , J, t) + \epsilon ^2 f_2(\theta , J, t) + \dots . \end{eqnarray}$$(6)

Aquí, ignoramos la autogravedad de la respuesta, de modo que |$\Phi _1$| consiste solo en la perturbación externa, y las perturbaciones de orden superior en |$\Phi$| son todas cero, es decir, |$\Phi _2=\Phi _3=\dots =0$|⁠ .

Desarrollando la CBE ( 4 ) como una serie de potencias en |$\epsilon$|⁠ , y agrupando términos con potencias iguales de |$\epsilon$|⁠ , encontramos en el primer y segundo orden que
$$\begin{eqnarray} &\epsilon ^1:~\dfrac{{\parcial }f_1}{{\parcial }t} + \dfrac{{\parcial }f_1}{{\parcial }\theta } \dfrac{{\parcial }H_0}{{\parcial }J}-\dfrac{{\parcial }f_0}{{\parcial }J} \dfrac{{\parcial }\Phi _1}{{\parcial }\theta } = 0, \end{eqnarray}$$(7)
$$\begin{eqnarray} &\epsilon ^2:~\dfrac{{\parcial }f_2}{{\parcial }t} + \dfrac{{\parcial }f_2}{{\parcial }\theta } \dfrac{{\parcial }H_0}{{\parcial }J} + \dfrac{{\parcial }f_1}{{\parcial }\theta } \dfrac{{\parcial }\Phi _1}{{\parcial }J}-\dfrac{{\parcial }f_1}{{\parcial }J} \dfrac{{\parcial }\Phi _1}{{\parcial }\theta } = 0. \end{eqnarray}$$(8)

Aprovechando la periodicidad |$2\pi$| del ángulo |$\theta$|⁠ , expandimos las perturbaciones en series de Fourier:
$$\begin{eqnarray} \Phi _j(\theta , J, t) &= \displaystyle \sum_n \hat{\Phi }_{j,n}(J, t) \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}n \theta }, \end{eqnarray}$$(9)
$$\begin{eqnarray} f_j(\theta , J, t) &= \displaystyle \sum _{n} \hat{f}_{j,n}(J, t) \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}n \theta }, \end{eqnarray}$$(10)

donde n es un entero y |$j=1,2,\puntos$| denota el orden de la perturbación. Insertando ( 10 ) en las ecuaciones ( 7 )–( 8 ) y aplicando la transformada de Fourier se obtiene
$$\begin{eqnarray} \dfrac{{\partial }\hat{f}_{1,n}(J,t)}{{\partial }t} &+ \mathrm{i}n \Omega \hat{f}_{1,n}(J,t) = \mathrm{i}n \dfrac{{\partial }f_0}{{\partial }J} \hat{\Phi }_{1,n}(J,t), \end{eqnarray}$$(11)
$$\begin{eqnarray} \dfrac{{\partial }\hat{f}_{2,n}(J,t)}{{\partial }t} + \mathrm{i}n \Omega \hat{f}_{2,n}(J,t) &=& - \mathrm{i}\sum _{n^{\prime }}\bigg [n^{\prime } \hat{f}_{1,n^{\prime }}(J,t) \dfrac{{\partial }\hat{\Phi }_{1,nn^{\prime }}(J,t)}{{\partial }J} \\ && - (nn^{\prime }) \dfrac{{\partial }\hat{f}_{1,n^{\prime }}(J,t)}{{\partial }J} \hat{\Phi }_{1,nn^{\prime }}(J,t) \bigg ]. \end{eqnarray}$$(12)
2.2.1 Solución general

Suponiendo que el sistema no está perturbado en |$t=0$|⁠ , la solución general de la ecuación de primer orden ( 11 ) es
$$\begin{eqnarray} \hat{f}_{1,n}(J, t) = \int _0^t \mathrm{d}t^{\prime } \, \mathrm{e}^{- \mathrm{i}n \Omega (tt^{\prime })} \mathrm{i}n \frac{{\partial }f_0}{{\partial }J} \hat{\Phi }_{1,n}(J, t^{\prime }). \end{eqnarray}$$(13)

La solución general de la ecuación de segundo orden ( 12 ) se puede obtener sustituyendo ( 13 ) e integrando:
$$\begin{eqnarray} \hat{f}_{2,n}(J, t) &=& - \int _0^t \mathrm{d}t^{\prime } \, \mathrm{e}^{- \mathrm{i}n \Omega (tt^{\prime })} \\ \mbox{} &&\times \mathrm{i}\sum _{n^{\prime }} \bigg [n^{\prime } \frac{\partial \hat{\Phi }_{1,nn^{\prime }}(J,t^{\prime })}{\partial J}-(nn^{\prime }) \hat{\Phi }_{1,nn^{\prime }}(J,t^{\prime }) \frac{\partial }{\partial J} \bigg ] \\ \mbox{} &&\veces \int _0^{t^{\prime }} \mathrm{d}t^{\prime \prime } \, \mathrm{e}^{- \mathrm{i}n^{\prime } \Omega (t^{\prime }-t^{\prime \prime })} \mathrm{i}n^{\prime } \frac{{\partial }f_0}{{\partial }J}\hat{\Phi }_{1,n^{\prime }}(J, t^{\prime \prime }). \end{eqnarray}$$(14)

En principio, nuestro trabajo está terminado: para una perturbación de potencial dada |$\Phi _1$|⁠ , la solución completa para la DF de segundo orden en la teoría de perturbaciones se obtiene como la suma de las ecuaciones ( 13 ) y ( 14 ). Sin embargo, en esta etapa, el lado derecho de la ecuación ( 14 ) es bastante opaco y no manifiesta el comportamiento similar al eco de la solución que surgirá al aplicar dos impulsos. Dado que el eco se debe a una sincronización temporal de fases, ahora reescribimos la solución ( 14 ) de forma que su dependencia de la fase sea más clara. Para simplificar la notación, primero introducimos los siguientes operadores:
$$\begin{eqnarray} \partial _J \equiv \frac{\partial }{\partial J}, \qquad D_J(t^{\prime }) \equiv \partial _J + \mathrm{i}n \frac{\partial \Omega }{\partial J} (tt^{\prime }). \end{eqnarray}$$(15)

Podemos entonces reescribir la ecuación ( 14 ) como
$$\begin{eqnarray} \hat{f}_{2,n}(J, t) &=& \sum _{n^{\prime }} n^{\prime } \int _0^t \mathrm{d}t^{\prime } \int _0^{t^{\prime }} \mathrm{d}t^{\prime \prime } \\ \mbox{} &&\times \bigg [n^{\prime } {\partial }_J \hat{\Phi }_{1,nn^{\prime }}(J,t^{\prime })-(nn^{\prime }) \hat{\Phi }_{1,nn^{\prime }}(J,t^{\prime }) D_J(t^{\prime }) \bigg ] \\ \mbox{} &&\times \frac{{\partial }f_0}{{\partial }J} \hat{\Phi }_{1,n^{\prime }}(J, t^{\prime \prime }) \, \mathrm{e}^{- \mathrm{i}\Omega [n t-(nn^{\prime }) t^{\prime }-n^{\prime } t^{\prime \prime }]}, \end{eqnarray}$$(16)

donde el operador |$D_J$| actúa sobre toda la tercera línea. Esta forma de la solución deja clara la dependencia crucial del DF perturbado de segundo orden sobre la fase |$\xi \equiv \Omega (J) [n t-(nn^{\prime }) t^{\prime }-n^{\prime } t^{\prime \prime }]$|⁠ . En t grande , típicamente esperamos que |$\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\xi }$| sea una función de J que oscila muy rápidamente . Entonces, las perturbaciones del espacio de fases estarán estrechamente enrolladas, y las cantidades macroscópicas correspondientes como la densidad del espacio real, cuyo cálculo implica integrales sobre la acción J , tenderán a suprimirse. La excepción a esta regla ocurre alrededor de tiempos especiales t cuando |$\xi$| se anula, como veremos.
2.2.2 Dos patadas impulsivas

Ahora elegimos que |$\Phi _1$| consista en dos perturbaciones potenciales impulsivas, en los tiempos |$t=t_1$| y |$t=t_2 > t_1$|⁠ , respectivamente:
$$\begin{eqnarray} \Phi _1(\theta , J, t) = \psi _1(J) \cos (n_1 \theta) \delta (t-t_1) + (1 \leftrightarrow 2), \end{eqnarray}$$(17)

donde |$(1 \leftrightarrow 2)$| denota términos iguales a los anteriores pero con los índices intercambiados entre 1 y 2. Nótese que hemos elegido cada perturbación como puramente cosinusoidal en la variable de ángulo |$\theta$| con números de onda fijos |$n_1$| y |$n_2$|⁠ . Una reacción más general se desarrollaría como una serie de Fourier en |$\theta$| con términos seno y coseno, pero optamos por la ecuación ( 17 ) para mantener la exposición relativamente simple.

Los coeficientes de Fourier del potencial perturbado son
$$\begin{eqnarray} \hat{\Phi }_{1,n}(J, t) = \displaystyle \sum _{s=\pm } \psi _1(J) \dfrac{\delta _{n}^{s n_1}}{2} \delta (t-t_1) + (1 \leftrightarrow 2). \end{eqnarray}$$(18)

Conectando ( 18 ) en ( 16 ), obtenemos
$$\begin{eqnarray} \hat{f}_{2,n}(J, t) &=& \dfrac{1}{4} \displaystyle\sum _{n^{\prime }} \displaystyle\sum _{s_a=\pm } \displaystyle\sum _{s_b=\pm } n^{\prime } \int _0^t \mathrm{d}t^{\prime } \int _0^{t^{\prime }} \mathrm{d}t^{\prime \prime } \\ && \times \bigg \lbrace \bigg [n^{\prime } {\partial }_J \psi _1-(nn^{\prime }) \psi _1 D_J(t^{\prime }) \bigg ] \delta _{nn^{\prime }}^{s_a n_1} \delta (t^{\prime }-t_1) + (1 \leftrightarrow 2) \bigg \rbrace \\ && \times \dfrac{{\partial }f_0}{{\partial }J} \bigg [\psi _1 \delta _{n^{\prime }}^{s_b n_1} \delta (t^{\prime \prime }-t_1) + (1 \leftrightarrow 2) \bigg ] \, \mathrm{e}^{- \mathrm{i}\Omega [n t-(nn^{\prime }) t^{\prime }-n^{\prime } t^{\prime \prime }]}. \end{eqnarray}$$(19)

Al desarrollarse por completo, la solución ( 19 ) consta de muchos términos diferentes, pero pueden agruparse en dos clases, que llamamos clase «desacoplada» y clase «acoplada». Por lo tanto, escribimos
$$\begin{eqnarray} \hat{f}_{2,n}(J, t) = \hat{f}_{2,n}^{\, \rm u}(J, t) + \hat{f}_{2,n}^{\, \rm c}(J, t), \end{eqnarray}$$(20)

con los superíndices 'u' y 'c' que significan 'desacoplado' y 'acoplado', respectivamente.

Los términos 'desacoplados' consisten en todos los términos del lado derecho de la ecuación ( 19 ) en los que |$\psi _1$| aparece dos veces o |$\psi _2$| aparece dos veces, sin que aparezcan |$\psi _1$| ni |$\psi _2$| . Unas pocas líneas de álgebra muestran que los términos desacoplados pueden escribirse como
$$\begin{eqnarray} \hat{f}_{2,n}^{\, \rm u}(J, t) &\displaystyle= \dfrac{1}{4} \sum _{s=\pm } \mathcal {H}(t-t_1) n_1^2 \bigg [\delta _n^0 \bigg (\psi _1^2\dfrac{{\parcial }^2 f_0}{{\parcial }J^2} + 2 \psi _1 {\parcial }_J \psi _1 \dfrac{{\parcial }f_0}{{\parcial }J} \bigg) \\ \mbox{} &\displaystyle- \delta _n^{s 2n_1} \psi _1^2 \dfrac{{\parcial }^2 f_0}{{\parcial }J^2} \, \mathrm{e}^{- \mathrm{i}n \Omega (t-t_1)}\bigg ] + (1 \leftrightarrow 2), \end{eqnarray}$$(21)

Donde |$\mathcal {H}$| denota la función escalón de Heaviside. Estos términos desacoplados son simplemente la respuesta no lineal de la función de densidad original no perturbada a cada impulso individual. No presentan acoplamiento entre las dos respuestas independientes y, por lo tanto, no dan lugar a fenómenos de tipo eco.

Los términos 'acoplados' son todos los términos restantes en la ecuación ( 19 ), es decir, aquellos en los que aparecen tanto |$\psi _1$| como |$\psi _2$| . Dado que |$t^{\prime } > t^{\prime \prime }$| y |$t_2 > t_1$| , los únicos términos acoplados que sobreviven son
$$\begin{eqnarray} \displaystyle\hat{f}_{2,n}^{\, \rm c}(J, t) &=& \frac{1}{4} \sum _{s=\pm } \mathcal {H}(t-t_2) n_1 \\ && \displaystyle\,\,\bigg \lbrace \delta _{n}^{s(n_2+n_1)} \!\bigg [n_1 {\partial }_J \psi _2-n_2 \psi _2 D_J(t_2) \bigg ]\! \dfrac{{\parcial }f_0}{{\parcial }J} \psi _1 \!\, \mathrm{e}^{- \mathrm{i}\Omega [n ts (n_2 t_2 + n_1 t_1)]} \\ && \displaystyle\,\, +\delta _{n}^{s(n_2-n_1)} \!\bigg [n_1 {\parcial }_J \psi _2 + n_2 \psi _2 D_J(t_2) \bigg ]\! \dfrac{{\parcial }f_0}{{\parcial }J} \psi _1 \!\, \mathrm{e}^{- \mathrm{i}\Omega [n ts (n_2 t_2-n_1 t_1)]} \bigg \rbrace. \end{eqnarray}$$(22)

Vemos que hay instantes especiales t tales que la exponencial compleja deja de ser una función rápidamente variable de J hasta |$\Omega (J)$|⁠ . La primera línea entre llaves predice que esto ocurre cuando |$t=t_\mathrm{echo}^{*}$|⁠ , donde
$$\begin{eqnarray} t_\mathrm{echo}^\ast \equiv \dfrac{n_2 t_2 + n_1 t_1}{n_2 + n_1} = t_2-\dfrac{n_1 (t_2-t_1)}{n_2 + n_1}, \end{eqnarray}$$(23)

mientras que el segundo término lo predice en |$t=t_\mathrm{echo}$|⁠ , donde
$$\begin{eqnarray} t_\mathrm{echo}\equiv \dfrac{n_2 t_2-n_1 t_1}{n_2-n_1} = t_2 + \dfrac{n_1 (t_2-t_1)}{n_2-n_1}. \end{eqnarray}$$(24)

Supongamos, sin pérdida de generalidad, que |$n_1$| y |$n_2$| son ambos positivos. Entonces, el tiempo de eco |$t_\mathrm{echo}^\ast$| implícito en la ecuación ( 23 ) ocurre antes de |$t_2$|⁠ . Dado que |$\hat{f}_{2,n}^{\, \rm c}$| solo es distinto de cero para |$t>t_2$|⁠ , no hay eco asociado a este término. Por otro lado, el tiempo de eco |$t_\mathrm{echo}$| implícito en la ecuación ( 24 ) es mayor que |$t_2$| siempre que |$n_2 > n_1$|⁠ . Podemos reescribir el término 'eco' asociado (el segundo término entre llaves de la ecuación ( 22 )) realizando la derivada en |$D_J$|⁠ :
$$\begin{eqnarray} \hat{f}_{2,n}^{\, \rm echo}(J, t) &=& \dfrac{1}{4} \sum _{s=\pm }\mathcal {H}(t-t_2) n_1 \delta _{n}^{s (n_2-n_1)} \\ && \times \bigg \lbrace n_1 \psi _1 {\parcial }_J \psi _2 \dfrac{{\parcial }f_0}{{\parcial }J} + n_2 \psi _1 \psi _2 \dfrac{{\parcial }^2 f_0}{{\parcial }J^2} + n_2 \psi _2 {\parcial }_J \psi _1 \dfrac{{\parcial }f_0}{{\parcial }J} \\ &&+ n_2 \psi _2 \psi _1 \dfrac{{\parcial }f_0}{{\parcial }J} [- \mathrm{i}n {\parcial }_J \Omega (t-t_{\rm eco}) + \mathrm{i}n {\parcial }_J \Omega (t-t_2)] \bigg \rbrace \, \mathrm{e}^{- \mathrm{i}n \Omega (t-t_{\rm eco})} \\ &&= \dfrac{1}{4} \sum _{s=\pm } \mathcal {H}(t-t_2) n_1 \delta _{n}^{s (n_2-n_1)} \\ && \times \bigg [\big (n_1 \psi _1 {\parcial }_J \psi _2 + n_2 \psi _2 {\parcial }_J \psi _1 \big) \dfrac{{\parcial }f_0}{{\parcial }J} + n_2 \psi _1 \psi _2 \dfrac{{\parcial }^2 f_0}{{\parcial }J^2} \\ && + s \mathrm{i}n_1 n_2 \psi _1 \psi _2 {\parcial }_J \Omega (t_2-t_1) \dfrac{{\parcial }f_0}{{\parcial }J} \bigg ] \, \mathrm{e}^{- \mathrm{i}n \Omega (t-t_{\rm echo})}. \end{eqnarray}$$(25)

Finalmente, sustituyendo esta expresión en la representación de Fourier de |$f_2(\theta ,J,t)$| (ecuación 10 ), obtenemos nuestra parte de eco explícita del DF en el espacio de acción angular:
$$\begin{eqnarray} f_{2}^{\, \rm echo}(\theta , J, t) &=& \frac{1}{2} \mathcal {H}(t-t_2) \bigg \lbrace \bigg [n_1 \big (n_1 \psi _1 {\parcial }_J \psi _2 + n_2 \psi _2 {\parcial }_J \psi _1 \big) \frac{{\parcial }f_0}{{\parcial }J} \\ && + n_1 n_2 \psi _1 \psi _2 \frac{{\parcial }^2 f_0}{{\parcial }J^2} \bigg ] \cos \big [(n_2-n_1) [\theta -\Omega (t-t_\mathrm{echo})]\big ] \\ && - n_1^2 n_2 \psi _1 \psi _2 {\parcial }_J \Omega (t_2-t_1) \frac{{\parcial }f_0}{{\parcial }J} \sin \big [(n_2-n_1) [\theta -\Omega (t-t_\mathrm{eco})] \big ]\bigg \rbrace . \\ \end{eqnarray}$$(26)

Nuevamente, un par genérico de perturbaciones consistiría en una suma sobre los términos |$n_1$| y |$n_2$| con fases arbitrarias en lugar de la forma simplificada (ecuación 17 ), pero la generalización de los resultados anteriores es directa. La ecuación ( 26 ) muestra explícitamente que alrededor del tiempo |$t=t_\mathrm{echo}$|⁠ , la perturbación de segundo orden para la DF consiste en una pieza que no oscila rápidamente en el espacio de acción. Esto conduce a una fluctuación transitoria, un "eco", en cantidades integradas macroscópicas como la densidad del espacio real, mucho después de que las perturbaciones originales (de primer orden) hayan mezclado la fase. En el contexto de la Vía Láctea, esto sugiere que los "Caracoles" débilmente enrollados pueden aparecer en el espacio de fase algún tiempo después de que los Caracoles originales se hayan enrollado firmemente. Demostramos esto numéricamente en la Sección 3 .
2.2.3 Discusión

La conclusión clave de nuestro cálculo es que un sistema perturbado por dos impulsos sucesivos con números de onda |$n_1$| y |$n_2$| exhibirá una respuesta de eco de segundo orden con un número de onda |$n=n_2-n_1$| si |$n_2 > n_1$| . Este último requisito refleja el hecho físico de que las perturbaciones con una fase n mayor se mezclan más rápidamente, por lo que para que la segunda perturbación se iguale a la primera y se acople no linealmente para producir un eco, debe tener un número de onda mayor.

Nótese que el término de eco de segundo orden ( 26 ) implica dos términos, el segundo de los cuales es proporcional a |$t_2-t_1$|⁠ . Como resultado, cuanto más se espere entre las dos patadas, ¡más fuerte será finalmente el eco no lineal! Físicamente, esto se debe al hecho de que la respuesta de segundo orden |$f_2$| depende del gradiente de la respuesta de primer orden |$f_1$| en el espacio de acción (ver ecuación 8 ), y cuanto más se espere a que |$f_1$| se mezcle en fase, más nítidos serán sus gradientes en el espacio de acción (los Snails originales están más 'enrollados').

Obsérvese también que las conclusiones extraídas hasta ahora son directamente análogas al caso cinético del plasma, en el que J se sustituiría por el momento y |$\theta$| por la posición. La principal diferencia en el caso galáctico radica en que las perturbaciones potenciales son función tanto de las coordenadas canónicas como de los momentos, por lo que tenemos términos con derivadas |$\partial \psi /\partial J$| que serían cero en el caso del plasma. Sin embargo, estas derivadas no nulas solo resultan en correcciones simples de la amplitud del eco (que aparecen en la primera línea de la ecuación 26 ). No alteran cualitativamente el fenómeno del eco, lo que significa que los ecos galácticos y de plasma son estrechamente análogos.
2.3 Limitaciones y extensiones

Si bien el cálculo que presentamos en la Sección 2.2 captura la física básica de los «ecos galácticos», presenta varios aspectos muy idealizados. Es importante comprender estas idealizaciones, ya que nos permitirán interpretar las simulaciones numéricas presentadas en la Sección 3 .

La primera gran idealización que hicimos es que la dinámica es perturbativa . A menudo hay circunstancias en las que esta suposición perturbativa (y el truncamiento correspondiente de la teoría de perturbaciones en el segundo orden) se rompe incluso para patadas relativamente débiles (pequeñas |$\psi _{i}$|⁠ ). Esto no debería sorprender, ya que, como se discutió en la Sección 2.2.3 , el cálculo del eco perturbativo da un término proporcional a |$t_2-t_1$|⁠ . Ingenuamente, esta proporcionalidad sugiere que es posible que la respuesta de segundo orden tenga la misma (o incluso una mayor) amplitud que la respuesta de primer orden ( 13 ). Sin embargo, de manera realista, la expansión perturbativa ( 6 ) se rompería en tal escenario. Por otro lado, uno puede realizar un cálculo completamente general, no perturbativo del efecto eco en el caso especial de que |$\partial _J\Omega$| sea constante y tanto |$\psi _1$| como |$\psi _2$| son independientes de J . Describimos este cálculo en el Apéndice B .

La segunda gran idealización es que ignoramos el efecto de la difusión , es decir, el hecho de que las inhomogeneidades a pequeña escala como las nubes moleculares darán perturbaciones estocásticas a las órbitas de las estrellas. Puesto en lenguaje de plasma, no incluimos ningún operador de colisión en el lado derecho de ( 4 ). Siguiendo a Su y Oberman ( 1968 ), Tremaine et al. ( 2023 ), y Chiba, Frankel y Hamilton ( 2025 ), esperamos que si incluyéramos suficiente difusión, actuaría para borrar los efectos de eco observables. Matemáticamente, se puede demostrar que cada respuesta de primer orden decaería aproximadamente |$\propto \, \mathrm{e}^{-(t/t_{\rm d})^3}$|⁠ , donde |$t_{\rm d}$| es un tiempo de difusión característico. 1 Heurísticamente, esperamos que si |$t_2-t_1$| o si |$t_\mathrm{echo}-t_1$| es mayor que |$t_{\rm d}$|⁠ , el eco no se manifestará. Confirmamos este comportamiento con simulaciones numéricas en la Sección  3 .

En tercer lugar, hemos ignorado la autogravedad de la distribución estelar perturbada. Como lo muestran Darling y Widrow ( 2019 ) y Widrow ( 2023 ), la autogravedad puede fortalecer la amplitud de la respuesta tipo Caracol a una perturbación impulsiva y extender la vida útil de un Caracol mucho más allá de lo esperado debido solo a la mezcla de fases. No está claro qué impacto tendría la autogravedad en los ecos galácticos. Por un lado, esperamos que si la autogravedad conduce a respuestas de primer orden más fuertes, también debería conducir a efectos de segundo y superior más fuertes como los ecos. Por otro lado, la dependencia de |$t_2-t_1$| del término eco surge precisamente porque los acoplamientos no lineales se alimentan de gradientes de espacio de fase, y bajo una mezcla de fases normal estos se vuelven más agudos a medida que |$t_2-t_1$| aumenta. Dado que la autogravedad reducirá la tasa de mezcla de fases, puede debilitar los ecos, no hacerlos más fuertes. En un plasma homogéneo, se puede realizar un cálculo autoconsistente (Gould et al. 1967 ; O'Neil y Gould 1968 ), que predice que los efectos colectivos amplifican el eco a la vez que modifican ligeramente sus tasas de crecimiento y decaimiento. Sin embargo, realizar un cálculo autoconsistente de este tipo aquí implicaría una penalización matemática significativa: no solo necesitaríamos la transformada de Laplace del dominio del tiempo al dominio complejo de la frecuencia (Gould et al. 1967 ), sino también, dado que tratamos aquí con un sistema no homogéneo, necesitaríamos proyectar nuestras fluctuaciones sobre una base de densidad potencial biortogonal (p. ej., Kalnajs 1976 ; Weinberg 1991 ; Hamilton y Fouvry 2024 ). Como alternativa, podríamos renunciar a ambas transformadas y simplemente resolver numéricamente las ecuaciones linealizadas (Widrow 2023 ). Dado que nuestro objetivo aquí es demostrar la existencia de un fenómeno de eco en lugar de realizar un modelo detallado de la vecindad solar, no investigaremos más el papel de la autogravedad en este artículo.
3 SIMULACIONES DE PARTÍCULAS DE PRUEBA

En esta sección, probamos las ideas teóricas desarrolladas en la sección anterior utilizando simulaciones de partículas de prueba del movimiento 1D (vertical) en un disco galáctico.
3.1 Modelo

Modelamos el disco no perturbado con una placa isotérmica autogravitante descrita por el siguiente par potencial-densidad:
$$\begin{eqnarray} \Phi _0(z) = 2 \sigma ^2 \ln \left[\cosh \left(\dfrac{z}{2h}\right)\right], \quad \rho _0(z) = \rho _{\rm c}\, \mathrm{sech}^2 \left(\dfrac{z}{2h}\right), \end{eqnarray}$$(27)

donde h es la altura de escala en z grande , |$\sigma$| es la dispersión de velocidad y |$\rho _{\rm c}= \sigma ^2/(8\pi {\rm G}h^2)$| es la densidad central. Por defecto, establecemos |$h=0.2 \, {\rm kpc}$| y |$\sigma = 20 \, {\rm kpc}\, {\rm Gyr}^{-1}= 19.6 \, {\rm km}\, {\rm s}^{-1}$|⁠ . Para nuestra densidad de flujo no perturbada, tomamos
$$\begin{eqnarray} f_0(z,v) = \dfrac{\rho _{\rm c}}{(2 \pi \sigma ^2)^{1/2}} \exp \left[-\dfrac{H_0(z,v)}{\sigma ^2}\right], \end{eqnarray}$$(28)

donde |$H_0$| es el hamiltoniano no perturbado ( 1 ).

Sometemos nuestro disco a dos perturbaciones impulsivas causadas por el paso de satélites o subhalos de materia oscura. Según el análisis de respuesta lineal de Banik, Weinberg y van den Bosch ( 2022 ) y Banik, van den Bosch y Weinberg ( 2023 ), dichos encuentros pueden excitar tanto los modos dipolar ( ⁠|$n=1$|⁠ ) como cuadrupolar ( ⁠|$n=2$|⁠ ) en la distribución vertical del espacio de fases de las estrellas. Las amplitudes relativas de estos modos dependen críticamente de los parámetros del encuentro disco-satélite, en particular, la velocidad del encuentro, |$v_{\rm p}$|⁠ , y el ángulo en el que el satélite cruza el disco, |$\vartheta _{\rm p}$|⁠ , donde |$\vartheta _{\rm p}=0$| corresponde a un paso perpendicular a través del disco.

Para ilustrar cómo dos perturbaciones con diferentes números de onda pueden generar un eco, adoptamos un escenario simple en el que el primer satélite imparte una patada uniforme |$\Delta v_1(z) = \Delta V_1$| a las estrellas en |$t=t_1$|⁠ , excitando principalmente una perturbación de tipo dipolar ( ⁠|$n_1=1$|⁠ ). Como estimación aproximada, un satélite de masa |$M_{\rm p} = 4 \times 10^9 \, {\rm M}_\odot$|⁠ , velocidad |$v_{\rm p} = 300 \, {\rm kpc}\, {\rm Gyr}^{-1}$|⁠ , y parámetro de impacto |$b = 10 \, {\rm kpc}$| Impartiría un impulso de orden |$\Delta V_1 \sim {\rm G}M_{\rm p}/bv_{\rm p} \sim 6 \, {\rm kpc}\, {\rm Gyr}^{-1}$| (véase Binney y Schönrich 2018 para un modelo más elaborado). Posteriormente, en |$t=t_2$|⁠ , suponemos que el disco encuentra otro satélite/subhalo que cruza cerca de la vecindad solar en un ángulo rasante, induciendo así una perturbación de tipo cuadrupolo ( ⁠|$n_2=2$|⁠ ). Determinamos la dependencia z del segundo impulso suponiendo que el perturbador es una esfera de Plummer, que cruza el disco en |$\vartheta _{\rm p} = \pi /2$|⁠ . El impulso neto impartido a las estrellas en el límite impulsivo es entonces (véase el Apéndice A )
$$\begin{eqnarray} \Delta v_2(z) = - \Delta V_2 \frac{2za}{z^2 + a^2}, \quad {\rm donde} \quad \Delta V_2 = \frac{{\rm G}M_{\rm p}}{a v_{\rm p}}, \end{eqnarray}$$(29)

y a es el radio del núcleo. La validez de la aproximación del impulso se examina en el Apéndice A. En nuestra configuración fiducial, adoptamos |$t_1 = 0.2 \, {\rm Gyr}$|⁠ , |$t_2 = 0.8 \, {\rm Gyr}$|⁠ , |$\Delta V_1 = 6 \, {\rm kpc}\, {\rm Gyr}^{-1}$|⁠ , |$\Delta V_2 = 6 \, {\rm kpc}\, {\rm Gyr}^{-1}$|⁠ , y |$a=0.3 \, {\rm kpc}$|⁠ . La masa correspondiente del segundo satélite/subhalo es |$M_{\rm p} \sim 1.2 \times 10^8 \, {\rm M}_\odot$|⁠ , aunque esta estimación puede ser mucho mayor si el satélite pasa a una distancia distinta de cero del vecindario solar.

También examinamos la formación del eco en un disco ruidoso más realista, en el que las estrellas reciben muchas perturbaciones estocásticas débiles de estructuras de pequeña escala como las nubes moleculares. 2 Modelamos esta difusión a pequeña escala como un paseo aleatorio gaussiano de estrellas en el espacio |$(z,v)$| 3 : aplicamos patadas aleatorias independientes |$(\Delta z, \Delta v)$| a cada estrella cada |$\Delta t = 10 \, {\rm Myr}$|⁠ , donde las patadas tienen media cero, |$\langle \Delta z \rangle = \langle \Delta v \rangle = 0$|⁠ , y varianza, |$\langle (\Delta z)^2 \rangle = D_z \Delta t$|⁠ , |$\langle (\Delta v)^2 \rangle = D_v \Delta t$|⁠ , donde |$D_z,D_v$| son los coeficientes de difusión. Suponemos que los coeficientes de difusión son constantes y determinamos sus valores suponiendo que el disco era inicialmente muy fino (es decir, todas las estrellas tienen acción cero inicialmente) y se calentó gradualmente con el tiempo T para obtener su altura media actual |$\overline{z^2}$| y dispersión de velocidad |$\overline{v^2}$|⁠ . Por lo tanto, |$D_z = \overline{z^2}/T \sim 3.62 h^2/T$| y |$D_v = \overline{v^2}/T = \sigma ^2/T$|⁠ . Por defecto, establecemos |$T=10 \, {\rm Gyr}$|⁠ .
3.2 Aparición del eco en el espacio de fase vertical del disco

La Fig. 1 muestra la evolución temporal de la distribución vertical del espacio de fases del disco, que se golpea dos veces en |$t_1=0.2 \, {\rm Gyr}$| (azul) y en |$t_2=0.8 \, {\rm Gyr}$| (verde), lo que resulta en un eco en |$t_{\rm echo} = (n_2 t_2-n_1 t_1)/(n_2-n_1) = 1.4 \, {\rm Gyr}$| (rojo). Graficamos la distribución tanto en el espacio |$(z,v)$| (dos columnas de la izquierda) como en el espacio |$(\theta ,\Omega)$| (dos columnas de la derecha), y comparamos simulaciones con y sin difusión a pequeña escala. En todas las simulaciones, empleamos |$10^8$| partículas y calculamos la densidad del espacio de fases en una malla regular de |$200\times 200$| con una escala logarítmica.

Figura 1.


Evolución en el espacio de fases de una placa isotérmica perturbada por dos perturbaciones impulsivas sucesivas en |$t_1=0.2 \, {\rm Gyr}$| (azul) y |$t_2=0.8 \, {\rm Gyr}$| (verde). El acoplamiento no lineal entre las dos perturbaciones resulta en una tercera espiral de fase (el eco), que se desenrolla hasta |$t=1.4 \, {\rm Gyr}$| (rojo) y luego se rebobina de nuevo.
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La primera patada uniforme (azul) desplaza toda la distribución hacia una velocidad mayor, lo que resulta en una sobredensidad en |$\theta =0$| y una subdensidad en |$\theta =\pm \pi$|⁠ . Esta perturbación dipolar ( ⁠|$n_1=1$|⁠ ) posteriormente se cizalla en una espiral de fase de un brazo en el plano |$(z,v)$| . En el plano |$(\theta ,\Omega)$| , esta espiral aparece como una franja rectilínea inclinada. La segunda patada antisimétrica (verde) introduce una perturbación cuadrupolar ( ⁠|$n_2=2$|⁠ ), que evoluciona en una espiral de fase de dos brazos. Además de generar su propia respuesta, la segunda patada también perturba la espiral de fase de un brazo preexistente. Esta perturbación de segundo orden genera un nuevo patrón espiral antienrollado, que se presenta como un patrón lineal con inclinación negativa en el plano |$(\theta ,\Omega)$| . Con el paso del tiempo, este patrón se desenrolla (la fase se desmezcla) y, en el tiempo de eco previsto (rojo), su fase se alinea completamente, dando lugar a un eco. Posteriormente, el eco se mezcla y forma un nuevo patrón espiral de fase de un solo brazo.

El alineamiento de fase en |$t_{\rm echo}$| implica que el eco causa temporalmente una fluctuación en cantidades macroscópicas (integradas). Para ilustrar esto, graficamos en el panel superior de la Fig.  2 la evolución temporal de la altura media del disco, |$\langle z \rangle = \int {\rm d} z{\rm d} vf(z,v,t) z$|⁠ . Después del primer impulso, la altura media sufre una rápida oscilación, cuya amplitud decae gradualmente debido a la mezcla de fases. El segundo impulso induce una perturbación de densidad simétrica alrededor del plano medio del disco y, por lo tanto, no afecta a la altura media. Más tarde, a medida que el eco se desenrolla y rebobina, la altura media del disco comienza a oscilar de nuevo espontáneamente, a pesar de la ausencia de cualquier forzamiento externo. Esto demuestra cómo la memoria de perturbaciones anteriores puede conservarse en el espacio de fases y reaparecer más tarde en el espacio macroscópico. Los paneles restantes de la Fig. 2 muestran un efecto de eco similar (aunque menos drástico) en la medición del espesor del disco |$[\langle z^2 \rangle -\langle z \rangle ^2]^{1/2}$| y solo en |$\langle z^2 \rangle$| . El efecto es menos pronunciado porque el eco concentra la mayor parte de su potencia en |$n = \pm 1$|⁠ , lo cual no contribuye a los momentos pares de z .

Figura 2.


Evolución temporal de la altura media del disco |$\langle z \rangle$|⁠ , su espesor |$[\langle z^2 \rangle -\langle z \rangle ^2]^{1/2}$|⁠ , y la coordenada vertical rms |$\langle z^2 \rangle$|⁠ , todo en ausencia de difusión. La altura media sufre una oscilación amortiguada después de la primera patada uniforme en |$t_1$| debido a la mezcla de fases. La segunda patada antisimétrica en |$t_2$| no afecta directamente a la altura media, aunque distorsiona la espiral de fase de un solo brazo preexistente, generando una oscilación renovada (un eco) cerca de |$t_{\rm echo}$|⁠ . Las señales de eco en los otros paneles son más débiles (nótese el eje vertical contraído).
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En presencia de difusión a pequeña escala (segunda y cuarta columnas de la Fig. 1 ), las espirales de fase decaen gradualmente con el tiempo. Debido a que el efecto de la difusión es proporcional a la segunda derivada de la densidad del espacio de fase (Tremaine et al. 2023 ; Chiba et al. 2025 ), las espirales de fase más antiguas, y por lo tanto más apretadas, se borran con mayor eficacia. Como resultado, las respuestas de primer orden se difuminan en gran medida en los tiempos tardíos, mientras que la respuesta de segundo orden (el eco) aún persiste (véase también el panel inferior de la Fig. 3 ). Esto sugiere que algunas características observadas del espacio de fase pueden, de hecho, ser ecos (de segundo orden) en lugar de respuestas directas (de primer orden) a perturbaciones impulsivas.

Figura 3.


Tiempo de enrollamiento (arriba) y amplitud (abajo) de las espirales de fase en función del tiempo. Las líneas azul y verde representan las espirales de fase inducidas directamente por la primera y la segunda patada, respectivamente, mientras que el rojo representa el eco. Se representan gráficamente los resultados con difusión (línea continua) y sin difusión (línea discontinua). Las regiones sombreadas alrededor de cada línea representan la incertidumbre de 1 |$\sigma$| del ajuste, que es invisiblemente pequeña en el caso sin colisiones (línea discontinua). Dado que las amplitudes decaen superexponencialmente en presencia de difusión (curvas discontinuas negras), el eco se vuelve mucho mayor que las espirales de fase originales en tiempos tardíos.
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3.3 Cuantificación del eco

Para explorar la posibilidad de observar un eco, cuantificamos las amplitudes y los tiempos de enrollamiento de las espirales de fase ajustando el siguiente modelo a cada instantánea (Frankel et al. 2023 ):
$$\begin{eqnarray} \dfrac{\delta f(\theta ,J,t)}{\bar{f}(J,t)} = \displaystyle\sum _i A_i \cos n_i \left[\theta -\Omega (J) t_{{\rm w},i}-\theta _{0,i}\right], \end{eqnarray}$$(30)

donde |$\delta f \equiv f-\bar{f}$| y |$\bar{f}$| es el DF promediado en ángulo. Los parámetros de ajuste son la amplitud adimensional A , el tiempo de bobinado |$t_{\rm w}$|⁠ , y la fase inicial |$\theta _0$|⁠ . La suma recorre las tres espirales de fase ( ⁠|$i=1,2$|⁠ , echo), lo que produce un total de 9 parámetros de ajuste. Los números de onda se establecen en los modos dominantes: |$n_1=1$|⁠ , |$n_2=2$|⁠ , y |$n_{\rm echo}=n_2-n_1=1$|⁠ .

El panel superior de la Fig. 3 muestra la evolución temporal del tiempo de enrollamiento de la espiral de fase |$t_{\rm w}$| con azul y verde indicando aquellos generados por la primera y segunda patadas, respectivamente, y rojo representando el eco. Como se esperaba, los tiempos de enrollamiento aumentan casi linealmente con el tiempo, independientemente de la ausencia (punteado) o presencia (sólido) de difusión a pequeña escala. Los tiempos de enrollamiento de las respuestas de primer orden son cero justo después de las patadas, mientras que el del eco comienza negativo y cruza cero en |$t_{\rm echo}$|⁠ , volviéndose positivo después de eso, consistente con la ecuación ( 26 ). Observamos una ligera discontinuidad de |$t_{{\rm w},1}$| en |$t_2$| debido a la distorsión de la espiral de fase de un brazo por la segunda patada. También existe una tendencia modesta a que la difusión a pequeña escala disminuya el tiempo de bobinado inferido: la velocidad de bobinado disminuye ligeramente cuando |$t_{\rm w}>0$|⁠ , y aumenta cuando |$t_{\rm w} <0$|⁠ .

El panel inferior de la Fig.  3 traza las amplitudes correspondientes de las espirales de fase. En ausencia de difusión (punteada), las amplitudes son aproximadamente constantes, excepto en |$t_2$| cuando la segunda patada distorsiona y debilita la espiral de fase preexistente |$n=1$| (azul). En presencia de difusión a pequeña escala (sólida), las amplitudes se reducen a una velocidad que depende del tiempo de enrollamiento. Como se discutió brevemente en la Sección 2.3 , cuando la difusión funciona en combinación con la mezcla de fases, las perturbaciones en el espacio de fases decaen superexponencialmente con una amplitud aproximadamente |$\propto$| |$\exp [-(t_{\rm w}/t_{\rm d})^3]$|⁠ , donde |$t_{\rm d}$| es el tiempo de difusión característico (p. ej., Su y Oberman, 1968 ; Tremaine et al., 2023 ; Chiba et al., 2025 ). Las curvas discontinuas negras de la Fig. 3 muestran que dicho ajuste superexponencial concuerda excelentemente con todas las simulaciones que incluyen difusión. Los valores ajustados de |$t_\mathrm{d}$| fueron |$0.82,0.89,0.52,0.83\, {\rm Gyr}$| para |$A_1(t< t_2),A_1(t>t_2),A_2,A_\mathrm{echo}$|⁠ . El tiempo de difusión de |$A_2$| es aproximadamente 0.6 más corto que el de otros, lo que concuerda con el escalamiento |$t_\mathrm{d} \propto n^{-2/3}$| (p. ej., Tremaine et al. 2023 ), lo que produce |$t_{\mathrm{d},n=2}/t_{\mathrm{d},n=1} = 2^{-2/3} \simeq 0.63$|⁠ .

Una de las predicciones clave de la ecuación ( 26 ) es que la amplitud del eco aumenta con el intervalo de tiempo entre los dos impulsos, así como con su fuerza. Exploramos esto en la Fig.  4 , que grafica la amplitud del eco, |$A_{\rm echo}$|⁠ , calculada en ausencia de difusión a pequeña escala, como una función de la separación temporal, |$t_2-t_1$|⁠ , y la fuerza de la segunda patada, |$\Delta V_2$| (ecuación 29 ). Medimos |$A_{\rm echo}$| en el tiempo del eco, |$t_{\rm echo}$|⁠ , aunque el resultado es insensible a esta elección ya que |$A_{\rm echo}$| permanece constante en ausencia de difusión (ver Fig. 3 ). Vemos que, para valores pequeños de |$t_2-t_1$| y |$\Delta V_2$|⁠ , la amplitud del eco aumenta con ambos parámetros, en consonancia con la ecuación ( 26 ). Sin embargo, a medida que los parámetros se hacen cada vez más grandes, la amplitud del eco finalmente se satura y comienza a declinar, lo que señala el colapso de la teoría de perturbación de segundo orden. Las dos curvas discontinuas rojas marcan el límite dentro del cual la amplitud del eco excede la de la espiral de fase de un brazo original. La saturación ocurre aproximadamente a lo largo de una curva hiperbólica, en consonancia con la escala prevista |$\Delta V_2(t_2-t_1)$| de la ecuación ( 26 ). La causa subyacente de esta saturación está más allá del alcance del texto principal y, por lo tanto, se difiere al Apéndice B . Como se muestra allí, para valores incluso mayores de |$t_2-t_1$| y |$\Delta V_2$|⁠ , la amplitud del eco exhibe un comportamiento oscilatorio.

Figura 4.


Amplitud del eco, |$A_{\rm echo}$|⁠ , en ausencia de difusión a pequeña escala, en función del intervalo de tiempo entre los dos impulsos de gran escala, |$t_2-t_1$|⁠ , y la fuerza del segundo impulso, |$\Delta V_2$|⁠ . Las curvas blancas son los contornos de |$A_{\rm echo}$| obtenidos mediante interpolación spline bivariada, y las curvas discontinuas rojas marcan el límite dentro del cual |$A_{\rm echo}$| excede a |$A_1$|⁠ . El eco se amplifica con ambos parámetros, pero finalmente se satura y comienza a declinar.
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En casos más realistas, donde la difusión a pequeña escala elimina la señal del eco con el tiempo, la amplitud del eco puede disminuir al aumentar |$t_2-t_1$| antes de alcanzar el régimen no perturbativo. La Fig. 5 grafica la amplitud del eco de forma similar a la Fig.  4 , pero en presencia de difusión a pequeña escala. Aquí, graficamos la amplitud del eco cuando su tiempo de enrollamiento es |$t_{\rm w} = 0.4 \, {\rm Gyr}$| como se observa en la Vía Láctea (Antoja et al. 2023 ; Frankel et al. 2023 ). La amplitud del eco cae bruscamente con |$t_2-t_1$| más allá de |$\sim 0.5 \, {\rm Gyr}$|⁠ , lo que implica que los ecos en galaxias ruidosas reales pueden no experimentar la saturación vista en el caso puramente sin colisiones. Nuestro resultado sugiere que, debido al crecimiento limitado por la difusión, el eco sería más pronunciado cuando las dos patadas a gran escala están separadas por aproximadamente |$0.4 \, {\rm Gyr}$|⁠ . Nótese también que la curva discontinua roja, que marca el límite más allá del cual |$A_{\rm echo}$| excede a |$A_1$|⁠ , se ha desplazado significativamente a la izquierda en comparación con la de la Fig. 4 . En otras palabras, en presencia de difusión a pequeña escala, es más fácil que la amplitud del eco domine sobre las respuestas originales.

Figura 5.


Como en la Fig.  4 , pero con difusión a pequeña escala, por ejemplo mediante dispersión de nubes moleculares.
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4 DISCUSIÓN

Los estudios teóricos de la dinámica de la Vía Láctea a menudo se centran en explicar subestructuras en el espacio de fases como el Caracol de Gaia (Antoja et al. 2018 ; Hunt y Vasiliev 2025 ). La mayoría de estos estudios emplean simulaciones numéricas o teoría (semi)analítica lineal (Binney y Schönrich 2018 ; Banik et al. 2022 ; Banik et al. 2023 ; Tremaine et al. 2023 ; Widrow 2023 ), siendo esta última a menudo la base para interpretar la primera. Sin embargo, los mecanismos no lineales para producir estas subestructuras rara vez se han explorado analíticamente, con la notable excepción del atrapamiento orbital en el plano (Monari et al. 2017 ; Binney 2020 ; Chiba, Friske y Schönrich 2021 ).

Entre los fenómenos no lineales que pueden dar lugar a distintas subestructuras del espacio de fases, quizás el efecto más simple y analíticamente tratable es un eco del espacio de fases, que se ha estudiado ampliamente en la física del plasma, pero aparentemente nunca en el contexto de la dinámica galáctica. Nuestra derivación teórica (Sección 2 ) y simulaciones numéricas (Sección 3 ) sugieren que dichos efectos de eco bien podrían existir en el espacio de fases vertical de los discos galácticos. De manera más general, aunque aquí nos limitamos a un espacio de fases unidimensional y perturbaciones impulsivas para simplificar, una extensión de la Sección 2 a tres dimensiones y un espectro de perturbaciones menos trivial es directa. Esto implica que los ecos no lineales del espacio de fases podrían ser características comunes de las galaxias.

Por otro lado, al igual que en la física del plasma, los ecos tenderán a ser suprimidos por la difusión a pequeña escala, que en nuestro caso suele significar dispersión orbital por nubes moleculares. Esto se debe a que el eco se basa en el acoplamiento no lineal entre subestructuras enrolladas del espacio de fase. Por lo tanto, habrá casos en los que una simulación de N -cuerpos de muy alta resolución y "sin colisiones" de una galaxia exhibirá ecos significativos, mientras que la galaxia "colisionada" real que se está modelando, o incluso una copia con menor resolución de la misma simulación de N -cuerpos, no los mostrará. Es más, esto puede ser cierto incluso si el nivel de difusión a pequeña escala es nominalmente muy débil. Esto está bien ilustrado por las Figs.   4 y 5 , en las que la señal del eco cambia cualitativamente, incluso aunque el nivel de difusión a pequeña escala no calentaría el disco significativamente en la escala de tiempo de interés.

A continuación, analizamos brevemente las implicaciones de nuestros resultados para la interpretación del propio Caracol de Gaia vertical (Sección   4.1 ). A continuación, comparamos nuestro trabajo con la literatura previa sobre dinámica no lineal del espacio de fases en galaxias (Sección   4.2 ).
4.1 Implicaciones para el caracol Gaia

Aunque nuestro modelo es demasiado simplificado en muchos aspectos, nuestra simulación muestra que dos patadas similares a las de Sagitario pueden, en principio, generar un eco con amplitudes comparables a las de los Caracoles de Gaia ( ⁠|$A=0.1$| –0.2; véase Frankel et al. 2023 ). Sin embargo, atribuir los Caracoles que observamos hoy completamente a ecos impone requisitos bastante estrictos.

Supongamos, de manera bastante razonable, que la primera patada fue proporcionada por la galaxia enana de Sagitario, que se espera que excite principalmente un modo |$n_1=1$| (p. ej., Banik et al. 2023 ). La figura 5 implica entonces que, para que el eco explique el Caracol de Gaia , el segundo satélite/subhalo debe haber pasado cerca de la vecindad solar en un ángulo de oblicuo |$\sim 0.4 \, {\rm Gyr}$| después del paso de Sagitario y haber entregado una patada antisimétrica de fuerza |$\Delta V_2 \gtrsim 6 \, {\rm kpc}\, {\rm Gyr}^{-1}$|⁠ , que requiere una masa de |$M_{\rm p} \gtrsim 10^8 \, {\rm M}_\odot$| (Sección 3.1 , consulte también el Apéndice A para el efecto de la dependencia del tiempo, que aumenta aún más la masa requerida). Sin embargo, no se conocen satélites luminosos de tal masa cerca del disco galáctico aparte de Sagitario (véase Banik et al. 2022 y referencias allí). Es posible que la segunda patada fuera causada por un subhalo oscuro invisible, aunque un subhalo tan masivo probablemente llevaría una cantidad detectable de bariones. Además, varias simulaciones de N cuerpos han demostrado que es difícil reproducir el Caracol incluso mediante Sagitario solo a menos que su masa final sea mucho mayor que la observada (por ejemplo, Bland-Hawthorn y Tepper-García 2021 ; Bennett et al. 2022 ; Asano et al. 2025 ). Dado que el eco (de segundo orden) es inherentemente más débil que la respuesta (de primer orden) investigada en esos estudios, esperamos que los ecos enfrenten una dificultad aún mayor para reproducir la amplitud observada.

Un escenario más realista sería que los ecos débiles de las perturbaciones de Sagitario y otros satélites/subhalos se superpongan continuamente con las respuestas directas de primer orden, formando espirales de fase con una variación compleja en amplitud y tiempo de giro a lo largo del espacio de fase vertical y horizontal. Los residuos entre los datos y los modelos basados ​​en un único encuentro muestran, de hecho, estructuras coherentes, lo que indica la presencia de múltiples espirales de fase superpuestas (Frankel et al., 2023 ). Desentrañar el origen preciso de los Caracoles sigue siendo una tarea difícil y queda fuera del alcance de este artículo. En este sentido, diversas etiquetas estelares, como la edad y las abundancias químicas, que también presentan patrones similares a los de los Caracoles, pueden ofrecer pistas valiosas, ya que las diferentes etiquetas tienen diferentes gradientes en la acción vertical y el momento angular, y por lo tanto pueden ayudar a limitar la naturaleza de las perturbaciones (Frankel et al., 2025 ).
4.2 Relación con la literatura previa

Resulta ilustrativo contrastar nuestro trabajo con un estudio no lineal diferente de la formación de Snail realizado por Chiba et al. ( 2025 ). Demostraron que la respuesta no lineal de un disco al impulso resonante persistente por brazos espirales podría producir estructuras asimétricas en el espacio de fase. En particular, pudieron producir un Snail de dos brazos y rotación constante en el caso en que incluyeron difusión orbital a pequeña escala debido a la dispersión de nubes moleculares. En otras palabras, cuando se combina con un impulso no lineal persistente, la difusión a pequeña escala puede preservar , en lugar de destruir, las características del espacio de fase similares a las de Snail. Por el contrario, en nuestro estudio, así como en el modelo estocástico de Tremaine et al. ( 2023 ), las perturbaciones del impulso a gran escala tienen una vida muy corta. Como resultado, las estructuras del espacio de fase son siempre transitorias y siempre se suprimen por la difusión orbital a pequeña escala.

Artículos previos que muestran los resultados de simulaciones de discos de N cuerpos han revelado fenómenos similares a un efecto de «eco galáctico»; es decir, una galaxia que experimenta una perturbación interna poco después de experimentar dos perturbaciones externas (Chiueh y Tseng, 2000 ; Fuchs, Dettbarn y Tsuchiya, 2005 ). Sin embargo, estos artículos no establecen una comparación explícita con el eco de plasma ni desarrollan una teoría cuantitativa de cuándo y cómo debería surgir dicho efecto.

Finalmente, observamos que nuestro efecto de eco no lineal es distinto del acoplamiento de modos investigado por Tagger et al. ( 1987 ), Sygnet et al. ( 1988 ) y Masset y Tagger ( 1997 ). Dichos estudios consideraron dos (o más) perturbaciones espirales/de barra concurrentes en un disco, y la autogravedad de una de dichas perturbaciones afectó la evolución de la otra, y viceversa. Nuestro eco galáctico, por otro lado, no depende de la autogravedad, sino más bien del acoplamiento no lineal de las características de mezcla de fases en el DF después de dos perturbaciones potenciales independientes de corta duración.
5 RESUMEN

En este artículo, hemos derivado el análogo galáctico del eco de plasma: un sistema casi sin colisiones (plasma o galaxia) se perturba dos veces y, sin embargo, presenta tres respuestas macroscópicas. La tercera respuesta de "eco" se debe a un acoplamiento no lineal retardado entre las dos primeras. Nuestras conclusiones se pueden resumir de la siguiente manera:

Descubrimos que la versión galáctica del eco es muy similar a la del plasma. La principal distinción radica en que las fluctuaciones de potencial en una galaxia, expresadas en el espacio de acción angular, son funciones tanto de las coordenadas canónicas como de los momentos. Sin embargo, esta diferencia no introduce ningún fenómeno cualitativamente nuevo.


Aplicamos nuestra teoría del eco al movimiento vertical en la Vía Láctea y a la formación de los Caracoles de Gaia en el espacio de fases vertical. Descubrimos que los ecos verticales son comunes y pueden dominar fácilmente las respuestas originales en tiempos tardíos, ya que estas últimas están más estrechamente entrelazadas y, por lo tanto, son más vulnerables a la destrucción por difusión a pequeña escala debido, por ejemplo, a la dispersión de nubes moleculares. Sin embargo, la gran amplitud del Caracol observado sugiere que es improbable que se trate de un efecto eco puro.


El mecanismo físico básico de los ecos es lo suficientemente genérico y robusto como para esperar que sean características comunes en el espacio de fases (generalmente hexadimensional) de los discos galácticos sin colisiones. Si bien la autogravedad de la perturbación no es esencial para la formación de ecos, no está claro cómo podría afectar a la dinámica de los ecos y sigue siendo un tema de estudio futuro.
EXPRESIONES DE GRATITUD

Agradecemos a N. Bahcall, U. Banik, J. Goodman y M. Medvedev por sus valiosos comentarios en las distintas etapas de este proyecto. RC cuenta con el apoyo del Consejo de Investigación en Ciencias Naturales e Ingeniería de Canadá (NSERC) (referencia de financiación n.° DIS-2022-568580) y la Beca de Investigación de la Sociedad Japonesa para la Promoción de la Ciencia (JSPS), subvención n.° 25KJ0049. CH cuenta con el apoyo del Fondo de Becas John N. Bahcall y del Fondo Sivian del Instituto de Estudios Avanzados. MWK recibió apoyo parcial de la Beca NSF CAREER n.° 1944972.

Los autores agradecen al Instituto Kavli de Física Teórica (KITP) por su hospitalidad durante la realización de este trabajo; KITP cuenta con el apoyo parcial de la Fundación Nacional de Ciencias mediante el premio n.º PHY-2309135.

Los cálculos se realizaron en la supercomputadora Niagara del Consorcio SciNet HPC. SciNet cuenta con financiación de Innovación, Ciencia y Desarrollo Económico de Canadá; la Alianza de Investigación Digital de Canadá; el Fondo de Investigación de Ontario: Excelencia en Investigación; y la Universidad de Toronto.
DISPONIBILIDAD DE DATOS

Los resultados de simulación numérica utilizados en este artículo se compartirán a solicitud del autor correspondiente.
Notas al pie
1


Esta desintegración superexponencial surge del término de difusión del operador de colisión. Al incluir un término de fricción, la desintegración se transforma en exponencial más allá del tiempo de colisión (Banik y Bhattacharjee, 2024 ).
2


Consulte las recientes simulaciones hidrodinámicas de N -cuerpos realizadas por Tepper-García et al. ( 2025 ) para ver el efecto del gas turbulento y grumoso en la formación de espirales de fase.
3


Dado que la dispersión por nubes moleculares es un proceso local, puede ser más apropiado evaluar las estrellas solo en velocidad, en lugar de tanto en z como en v . Sin embargo, esta elección resulta en diferencias insignificantes (véase el apéndice C de Chiba et al. 2025 ).
4


Como referencia, la actual galaxia enana de Sagitario tiene una masa |$M_{\rm p} = 4 \times 10^8 \, {\rm M}_\odot$| y un radio del núcleo de aproximadamente |$4^\circ$| en el cielo, o |$a \simeq 1.7 \, {\rm kpc}$| asumiendo una distancia de |$25\, {\rm kpc}$| (Vasiliev & Belokurov 2020 ).


En este apéndice, presentamos nuestro modelo para la patada vertical neta inducida por el segundo perturbador en una órbita de baja inclinación mediante la aproximación del impulso y analizamos su validez. Para un estudio previo sobre perturbaciones satelitales en un modelo de disco estelar unidimensional, véase Weinberg ( 1991 ).

Consideramos la perturbación causada por una galaxia satélite y/o un subhalo de materia oscura con masa |$M_{\rm p}$| que atraviesa la vecindad solar en el instante |$t=t_{\rm p}$|⁠ . Suponemos que el perturbador se encuentra en una órbita recta con velocidad constante |$v_{\rm p}$| y un ángulo de incidencia |$\vartheta _{\rm p}$| entre el vector de velocidad y el eje z . Además, suponemos que el perturbador es una esfera de Plummer con un radio central a . El potencial del perturbador en la posición de las estrellas con altura z en la vecindad solar en el instante |$\tau =t-t_{\rm p}$| a partir del momento del impacto es
$$\begin{eqnarray} \Phi _{\rm p}(z,\tau) = - \frac{{\rm G}M_{\rm p}}{\sqrt{(v_{\rm p} \tau \sin \vartheta _{\rm p})^2 + (z-v_{\rm p} \tau \cos \vartheta _{\rm p})^2 + a^2}}. \end{eqnarray}$$(A1)

En el límite impulsivo, podemos suponer que las estrellas se mueven poco mientras el perturbador les imparte un impulso de velocidad. El impulso neto a las estrellas en este límite es
$$\begin{eqnarray} \Delta v(z) &=& - \int _{-\infty }^{\infty } \mathrm{d}\tau \dfrac{\mathrm{d}\Phi _ {\rm p}}{\mathrm{d}z} \\ &=& - \int _{-\infty }^{\infty } \mathrm{d}\tau \dfrac{{\rm G}M_{\rm p}(z-v_{\rm p} \tau \cos \vartheta _{\rm p})}{[(v_{\rm p} \tau \sin \vartheta _{\rm p})^2 + (z-v_{\rm p} \tau \cos \vartheta _{\rm p})^2 + a^2]^{3/2}}. \\ \end{eqnarray}$$(A2)

Cuando el perturbador pasa en un ángulo de oblicuo |$\vartheta _{\rm p} \approx \pi /2$|⁠ , la patada se reduce a
$$\begin{eqnarray} \Delta v(z) = - \int _{-\infty }^{\infty } \mathrm{d}\tau \frac{{\rm G}M_{\rm p}z}{[(v_{\rm p} \tau)^2 + z^2 + a^2]^{3/2}} = - \frac{{\rm G}M_{\rm p}}{v_{\rm p}} \frac{2 z}{z^2 + a^2}, \end{eqnarray}$$(A3)

que es una función impar de z , lo que produce una perturbación cuadrupolar en el espacio de fases. El pico de la patada es |$z=\pm a$| con amplitud |$\Delta V_2 = {\rm G}M_{\rm p}/(a v_{\rm p})$|⁠ .

Para comprobar la validez de la aproximación del impulso, comparamos simulaciones basadas en la ecuación ( A3 ) con aquellas que evolucionan bajo la perturbación totalmente dependiente del tiempo ( A1 ). En todo momento, mantenemos el primer perturbador impulsivo y solo investigamos el efecto dependiente del tiempo del segundo. El panel superior de la Fig.  A1 muestra la amplitud de las espirales de fase para perturbaciones impulsivas (sólidas) y dependientes del tiempo (punteadas) utilizando los parámetros predeterminados (Sección 3.1 ): para el primer perturbador, |$\Delta V_1 = 6 \, {\rm kpc}\, {\rm Gyr}^{-1}$|⁠ , y para el segundo, |$a=0.3\, {\rm kpc}$|⁠ , |$M_{\rm p} = 1.2 \times 10^8 \, {\rm M}_\odot$|⁠ , |$\vartheta _{\rm p}=\pi /2$|⁠ , y |$v_{\rm p}=300 \, {\rm kpc}\, {\rm Gyr}^{-1}$|⁠ , lo que da |$\Delta V_2 \simeq 6 \, {\rm kpc}\, {\rm Gyr}^{-1}$|⁠ . La perturbación dependiente del tiempo produce casi el mismo resultado que el caso impulsivo, ya que el tiempo característico de la perturbación es |$a/v_{\rm p} = 1 \, {\rm Myr}$|⁠ , que es mucho menor que el período de oscilación vertical de las estrellas, |$T \simeq 70 \, {\rm Myr}$|⁠ , lo que justifica la aproximación del impulso. Sin embargo, la amplitud |$A_2$| se reduce ligeramente, porque las estrellas rotan en el espacio de fase unas pocas veces |$(a/v_{\rm p})(2\pi /T) \sim 5^\circ$| durante el paso del perturbador, por lo que la fuerza perturbadora se promedia parcialmente.

Figura A1.


Amplitud de las espirales de fase en función del tiempo. La segunda perturbación en |$t=t_2$| se modela como impulsiva (línea continua) o dependiente del tiempo (línea punteada). El panel superior muestra el caso fiducial con |$a=0.3\, {\rm kpc}$| y |$M_{\rm p} = 1.2 \times 10^8 \, {\rm M}_\odot$|⁠ , mientras que el panel inferior adopta un perturbador más extendido y masivo con |$a=1.5\, {\rm kpc}$| y |$M_{\rm p} = 10^9 \, {\rm M}_\odot$|⁠ . Para valores mayores de a , la perturbación se vuelve menos impulsiva y, por lo tanto, el efecto dependiente del tiempo se vuelve más pronunciado.
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En nuestro modelo fiducial, asumimos un segundo perturbador bastante compacto ( ⁠|$a=0.3\, {\rm kpc}$|⁠ , |$M_{\rm p} = 1.2 \times 10^8 \, {\rm M}_\odot$|⁠ ) destinado a representar un subhalo oscuro que pasa en la vecindad del vecindario solar. Para un perturbador tipo Sagitario, tanto su tamaño como su masa pueden ser mayores. El panel inferior de la Fig.   A1 muestra resultados con |$a=1.5\, {\rm kpc}$| y |$M_{\rm p} = 10^9 \, {\rm M}_\odot$|⁠ , con otros parámetros sin cambios. 4 A pesar de la mayor masa, la perturbación resultante |$A_2$| es más débil que en el caso fiducial (panel superior), ya que la patada ahora es más fuerte en |$z = \pm 1.5 \, {\rm kpc}$|⁠ , mucho más allá de la altura de escala del disco ( ⁠|$h=0.2 \, {\rm kpc}$|⁠ ). La perturbación dependiente del tiempo todavía produce un aumento brusco en la amplitud, ya que |$a/v_{\rm p} = 5 \, {\rm Myr}$| permanece corto en comparación con T , pero se suprime significativamente en relación con el caso impulsivo porque las estrellas ahora avanzan en fase unas pocas veces |$(a/v_{\rm p})(2\pi /T) \sim 26^\circ$| mientras el perturbador pasa a través.
APÉNDICE B: SATURACIÓN NO LINEAL DEL ECO

Este apéndice explora el comportamiento del eco en el régimen completamente no lineal (es decir, no perturbativo). Al igual que en la Sección 2.2, ignoramos tanto la autogravedad de las fluctuaciones como cualquier difusión a pequeña escala. Además, consideramos un sistema homogéneo, es decir, un sistema sin potencial gravitacional en estado estacionario (por lo que este cálculo es muy similar al cálculo del plasma correspondiente en la Sección IV de O'Neil y Gould, 1968 ). La ventaja del supuesto homogéneo es que no es necesario utilizar variables de acción angular.

Consideremos, por lo tanto, un espacio de fases unidimensional |$(x,v)$|⁠ . El DF no perturbado es |$f_0(v)$|⁠ . Ahora sometemos el sistema a un martillo que le imparte un cambio de velocidad |$\Delta v = k_1 \psi _1 \sin k_1 x$|⁠ , que surge del potencial |$\Phi (x, t) = \delta (t-t_1) \psi _1 \cos k_1 x$| con |$k_1 > 0$|⁠ . El DF inmediatamente después del golpe es
$$\begin{eqnarray} f_\ast (x, v, t_1) = f_0(v-\Delta v) = f_0(v-k_1 \psi _1 \sin k_1 x).\end{eqnarray}$$(B1)

En momentos posteriores el DF es
$$\begin{eqnarray} f_\ast (x, v, t) = f_0\lbrace v-k_1 \psi _1 \sin k_1[xv(t - t_1)]\rbrace . \end{eqnarray}$$(B2)

En el instante |$t_2$|⁠ , imponemos otra patada |$\Delta v = k_2 \psi _2 \sin k_2 x$| con |$k_2 > 0$|⁠ . El DF inmediatamente después de la segunda patada es
$$\begin{eqnarray} f(x, v, t_2) &=& f_\ast (x, v-\Delta v, t_2) \\ &=& f_0\lbrace v-k_2 \psi _2 \sin k_2 x \\ && - k_1 \psi _1 \sin k_1[x-(v - k_2 \psi _2 \sin k_2 x)(t_2-t_1)]\rbrace, \end{eqnarray}$$(B3)

y en épocas posteriores
$$\begin{eqnarray} f(x, v, t) &=& f_0\lbrace v - k_2 \psi _2 \sin k_2[xv(t - t_2)] \\ &&- k_1 \psi _1 \sin k_1[xv(t - t_1) \\ &&+ k_2 \psi _2 \sin \lbrace k_2[xv(t - t_2)]\rbrace (t_2-t_1)]\rbrace . \end{eqnarray}$$(B4)

Podemos desarrollar la ecuación ( B4 ) en potencias de |$\psi _1$| y |$\psi _2$|⁠ . Entre los términos proporcionales a |$\psi _1 \psi _2$|⁠ , aquellos que satisfacen la condición de eco ( ⁠|$t_{\rm echo} > t_2$|⁠ ) son
$$\begin{eqnarray} f^{\, \rm echo}(x,v,t) &=& \dfrac{k_1 k_2 \psi _1 \psi _2}{2} \bigg \lbrace \dfrac{{\partial }^2 f_0}{{\partial }v^2} \cos \big [(k_2-k_1)[xv(t - t_{\rm echo})]\big ] \\ && -k_1(t_2 - t_1) \dfrac{{\partial }f_0}{{\partial }v} \sin \big [(k_2-k_1)[xv(t - t_{\rm echo})] \big ] \bigg \rbrace , \end{eqnarray}$$(B5)

donde |$t_{\rm echo}=(k_2t_2-k_1t_1)/(k_2-k_1)$|⁠ . Como comprobación de consistencia, observamos que esto es equivalente a la solución perturbativa de segundo orden ( 26 ) en un sistema homogéneo, es decir, cuando |${\partial }_J \psi _i = 0$| y |${\partial }_J \Omega$| es una constante.

Ahora calculamos la densidad en |$x=0$| usando la solución completamente no lineal ( B4 ):
$$\begin{eqnarray} \rho (0,t) = \int _{-\infty }^{\infty } \mathrm{d}vf(0, v, t).\end{eqnarray}$$(B6)

Suponemos un maxwelliano para |$f_0$|⁠ , es decir , |$(2\pi \sigma ^2)^{-1/2} \exp [-v^2/(2\sigma ^2)]$|⁠ , en cuyo caso la densidad ( B6 ) podría expresarse como una expansión en serie en términos de funciones de Bessel (O'Neil y Gould 1968 ). Aquí, simplemente calculamos numéricamente la integral de velocidad.

La figura   B1 muestra la fluctuación de densidad ( B1 ) causada por dos perturbaciones impulsivas con números de onda |$k_1=k$| y |$k_2=2k$| en |$t_1=0$| y |$t_2=20(\sigma k)^{-1}$|⁠ , donde |$\sigma$| es la dispersión de velocidad y |$k=k_2-k_1$| es un número de onda arbitrario; la aproximación de segundo orden ( B5 ) predeciría entonces un eco en |$t_\mathrm{echo} = 40 (\sigma k)^{-1}$|⁠ . Fijamos la amplitud del primer impulso en |$\psi _1=0.1 \sigma /k$| y variamos la del segundo impulso, |$\psi _2$|⁠ , indicado por los diferentes colores.

Figura B1.


Fluctuación de densidad en |$x=0$| causada por dos impulsos en |$t_1=0$| y |$t_2=20(\sigma k)^{-1}$|⁠ . Los valores de |$\psi _2$| se expresan en unidades de |$\sigma /k$|⁠ .
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Centrémonos primero en la línea negra, que corresponde a una segunda patada débil, |$\psi _2 = 0.01 \sigma /k$|⁠ . Como en la Fig.   2 , la densidad experimenta breves fluctuaciones inmediatamente después de las dos patadas, que se atenúan rápidamente a medida que se mezcla la fase del sistema. Luego, cerca de |$t = 40 (\sigma k)^{-1}$|⁠ , la perturbación del espacio de fases se desenrolla y, por lo tanto, genera una fluctuación de densidad renovada, como se esperaba de la solución de segundo orden ( B5 ). Sin embargo, a medida que aumentamos |$\psi _2$|⁠ , observamos dos fenómenos que no son capturados por la teoría de perturbaciones de segundo orden.

Primero, la densidad muestra múltiples estructuras similares a ecos justo después del segundo impulso. Dado que estas características están ausentes en pequeños |$\psi _2$|⁠ , lo más probable es que sean ecos de orden superior. Si bien en principio se podrían derivar soluciones explícitas para estos ecos expandiendo ( B4 ) en potencias de |$\psi _1$| y |$\psi _2$|⁠ , esto se vuelve cada vez más tedioso en órdenes superiores. Sin embargo, la temporización de estos ecos de orden superior se puede inferir de la siguiente manera. Cada potencia de |$\psi _i$| está asociada con senos y cosenos con argumento |$\phi _i \equiv k_i [xv(t - t_i)]$|⁠ . Los términos de orden l tienen un factor |$\psi _1^m \psi _2^{lm}$| donde |$m = 1,...,l-1$| (los términos con |$m = 0$| y |$m = l$| surgen de un solo martillo y, por lo tanto, no producen un eco). Estos términos involucran |$\sin ^m \phi _1 \sin ^{lm} \phi _2$| y términos de coseno análogos, y así producen términos como |$\sin (j_1 \phi _1) \sin (j_2 \phi _2)$| donde |$0 \le j_1 \le m, 0 \le j_2 \le lm$| y términos de coseno análogos. Desarrollando estos productos de senos y cosenos, obtenemos términos oscilatorios con argumento |$j_1 \phi _1 \pm j_2 \phi _2$|⁠ . Estos pueden producir ecos en |$t = t^{(j_1,j_2)}_\mathrm{echo}$|⁠ , donde
$$\begin{eqnarray} t^{(j_1,j_2)}_\mathrm{eco} = \frac{j_2 k_2 t_2 \pm j_1 k_1 t_1}{j_2 k_2 \pm j_1 k_1} = t_2 \mp \frac{j_1 k_1 (t_2-t_1)}{j_2 k_2 \pm j_1 k_1}. \end{eqnarray}$$(B7)

Con el signo superior, el segundo término es siempre negativo, por lo que el eco aparece antes de |$t_2$| y, por lo tanto, no es físico [cf ecuación ( 23 )]. Por lo tanto, los ecos ocurren solo en
$$\begin{eqnarray} t^{(j_1,j_2)}_\mathrm{echo} = \frac{j_2 k_2 t_2-j_1 k_1 t_1}{j_2 k_2-j_1 k_1} = t_2 + \frac{j_1 k_1 (t_2-t_1)}{j_2 k_2- j_1 k_1}, \end{eqnarray}$$(B8)

con restricciones |$k_1, k_2 > 0$|⁠ , |$j_1, j_2 > 0$|⁠ , |$j_1 + j_2 \le l$|⁠ , y |$j_2 k_2 > j_1 k_1$|⁠ . Como verificación, marcamos en la Fig.  B1 la sincronización del eco de segundo orden estándar |$(j_1,j_2)=(1,1)$|⁠ , el eco de tercer orden |$(j_1,j_2)=(1,2)$|⁠ , y el eco de cuarto orden |$(j_1,j_2)=(1,3)$|⁠ . Nótese que al contrario de otros efectos no lineales, que típicamente se vuelven prominentes en tiempos tardíos, el eco aparece antes cuanto más no lineal es (mayor l ).

Otra característica no lineal encontrada en valores grandes de |$\psi _2$| es la saturación del eco de segundo orden. Precisamente, a medida que |$\psi _2$| aumenta, el eco alrededor de |$t = 40(\sigma k)^{-1}$| inicialmente crece en amplitud, pero luego se satura y decae; un comportamiento también observado en nuestras simulaciones (no homogéneas) (Fig. 4 ). Curiosamente, con valores aún mayores de |$\psi _2$|⁠ , el eco crece de nuevo, pero la perturbación de densidad invierte el signo. Este comportamiento se debe a los términos de orden superior con |$j_1=j_2$|⁠ , que producen ecos con la misma temporización que el eco de segundo orden. En cada orden l , la contribución dominante proviene de términos proporcionales a |$\psi _1 \psi _2^{l-1}$|⁠ , ya que estos incluyen un término proporcional a |$(t_2-t_1)^{l-1}$| y |$t_2-t_1$| es un parámetro grande. Tomando la l- ésima derivada de ( B4 ) —una vez con respecto a |$\psi _1$| y |$l{-}1$| veces con respecto a |$\psi _2$| — y conservando solo los términos proporcionales a |$(t_2-t_1)^{l-1}$|⁠ , encontramos que
$$\begin{eqnarray} f_l(x,v,t) = - \frac{k_1 \psi _1 (k_2 \psi _2)^{l-1}}{(l-1)!} \frac{{\partial }f_0}{{\partial }v} (\tau \sin \phi _2)^{l-1} \frac{{\partial }^{l-1}}{{\partial }\phi _1^{l-1}}\sin \phi _1, \end{eqnarray}$$(B9)

donde |$\phi _i \equiv k_i [xv(t - t_i)]$| y |$\tau \equiv k_1 (t_2-t_1)$|⁠ . Entre los diversos términos que surgen de la reducción de potencia de |$(\sin \phi _2)^{l-1}$|⁠ , aquellos que generan ecos en el tiempo de eco de segundo orden ( ⁠|$j_1=j_2$|⁠ ) son
$$\begin{eqnarray} f_l(x,v,t) = (- 1)^{l/2} \frac{k_1 \psi _1 (k_2 \psi _2 \tau /2)^{l-1}}{(l-1)!} \binom{l-2}{\frac{l-2}{2}} \frac{{\partial }f_0}{{\partial }v} \sin (\phi _2-\phi _1), \\ \end{eqnarray}$$(B10)

donde l es par. El término de segundo orden ( ⁠|$l=2$|⁠ ) produce el segundo término de la ecuación ( B5 ). Debido al signo alternante |$(- 1)^{l/2}$| en ( B10 ), el término de cuarto orden ( ⁠|$l=4$|⁠ ) debilita el eco de segundo orden, provocando su saturación y decaimiento en general |$\psi _2 \tau$|⁠ . La amplitud de la suma de los dos cambia de signo cuando
$$\begin{eqnarray} && -\frac{(k_2 \psi _2 \tau /2)}{1!} \binom{0}{0} + \frac{(k_2 \psi _2 \tau /2)^3}{3!} \binom{2}{1} > 0 \\ && \quad\quad \por lo tanto \psi _2 > \frac{\sqrt{12}}{k_2\tau } \sim 0.09, \end{eqnarray}$$(B11)

aproximadamente consistente con el resultado numérico (Fig. B1 ). La ecuación ( B10 ) implica que la perturbación de densidad causada por el eco continuará deformándose con valores crecientes de |$\psi _2 \tau$|⁠ .

© El autor(es) 2025. Publicado por Oxford University Press en nombre de la Royal Astronomical Society.
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